译者序

作者序

前言

第1章复数1

1和与积1

2基本代数性质2

3其他代数性质4

4向量和模6

5三角不等式8

6共轭复数11

7指数形式13

8指数形式的乘积与幂16

9乘积与商的辐角17

10复数的根20

11例子22

12复平面中的区域26

第2章解析函数30

13函数与映射30

14映射w=z232

15极限35

16关于极限的定理37

17涉及无穷远点的极限39

18连续性41

19导数44

20导数的运算法则46

21柯西黎曼方程49

22例子50

23可微的充分条件51

24极坐标53

25解析函数的定义及性质56

26其他例子58

27调和函数60

28唯一确定的解析函数63

29反射原理64

第3章初等函数67

30指数函数67

31对数函数70

32例子71

33对数函数的分支和导数72

34一些涉及对数的恒等式75

35幂函数77

36例子78

37三角函数sinz和cosz80

38三角函数的零点和奇点82

39双曲函数85

40反三角函数与反双曲函数87

第4章积分90

41函数w(t)的导数 90

42函数w(t)的定积分91

43围线94

44围线积分98

45一些例子100

46涉及支割线的例子103

47围线积分的模的上界107

48原函数111

49定理的证明114

50柯西–古萨定理117

51定理的证明119

52单连通区域123

53多连通区域124

54柯西积分公式129

55柯西积分公式的推广130

56推广的柯西积分公式的证明133

57推广的柯西积分公式的一些

结果134

58刘维尔定理与代数基本定理137

59最大模原理138

第5章级数143

60序列的收敛性143

61级数的收敛性145

62泰勒级数148

63泰勒定理的证明149

64例子151

65(z-z0)的负次幂154

66洛朗级数157

67洛朗定理的证明159

目录复变函数及其应用（翻译版·原书第9版）68例子161

69幂级数的绝对收敛和一致收敛167

70幂级数的和函数的连续性169

71幂级数的积分与求导171

72级数展开式的唯一性173

73幂级数的乘法和除法177

第6章留数和极点182

74孤立奇点182

75留数184

76柯西留数定理187

77无穷远点处的留数188

78三种类型的孤立奇点191

79例子193

80极点处的留数194

81例子196

82解析函数的零点199

83零点和极点201

84函数在孤立奇点附近的性质205

第7章留数的应用208

85广义积分的计算208

86计算广义积分的例子210

87傅里叶分析中的广义积分214

88若尔当引理216

89缩进路径221

90绕分支点的缩进路径223

91沿着支割线的积分225

92涉及正弦和余弦的定积分229

93辐角原理232

94儒歇定理234

95拉普拉斯逆变换237

第8章初等函数的映射240

96线性变换240

97变换w=1/z242

981/z的映射242

99分式线性变换246

100隐式分式线性变换248

101上半平面的映射251

102例子253

103指数函数的映射255

104垂线段在w=sinz映射下的象256

105水平线段在w=sinz映射下

的象258

106与正弦函数相关的映射259

107 z2的映射262

108 z1/2的分支的映射263

109多项式的平方根266

110黎曼曲面271

111相关函数的曲面273

第9章共形映射276

112保角性和伸缩因子276

113两个例子278

114局部逆变换280

115调和共轭282

116调和函数的映射285

117边界条件的映射287

第10章共形映射的应用292

118稳定温度292

119半平面上的稳定温度293

120一个相关问题295

121在象限内的温度297

122静电势301

123求解电势问题的例子302

124二维的流体流动306

125流函数308

126沿拐角和柱面的流动310

第11章施瓦茨克里斯托费尔

映射316

127实轴到多边形的映射316

128关于施瓦茨克里斯托费尔

映射317

129三角形和矩形320

130退化的多边形323

131管道内通过狭缝的流体流动327

132有支管的管道内的流动329

133导电板边缘的静电势331

第12章泊松型积分公式335

134泊松积分公式335

135圆盘的狄利克雷问题337

136例子339

137相关的边值问题342

138施瓦茨积分公式344

139半平面的狄利克雷问题345

140诺伊曼问题348

部分习题解答352

第1章复数352

2基本代数性质352

3其他代数性质353

5三角不等式353

6共轭复数355

9乘积与商的辐角357

11例子360

12复平面上的区域363

第2章解析函数365

14映射w=z2365

18连续性366

20导数的运算法则367

24极坐标368

26其他例子371

27调和函数371

第3章初等函数372

30指数函数372

33对数函数的分支和导数375

34一些涉及对数的恒等式377

36例子378

38三角函数的零点和奇点379

39双曲函数382

40反三角函数与反双曲函数384

第4章积分384

42函数w（t）的定积分384

43围线385

46涉及支割线的例子386

47围线积分的模的上界389

49定理的证明392

53多连通区域393

57推广的柯西积分公式的一些

结果395

第5章级数399

61级数的收敛性399

65（z-z0）的负次幂400

68例子402

72级数展开式的唯一性406

73幂级数的乘法和除法407

第6章留数和极点411

77无穷远点处的留数411

79例子416

81例子419

83零点和极点423

第7章留数的应用428

86广义积分计算的例子428

88若尔当引理438

91沿着支割线的积分445

92涉及正弦和余弦的定

积分451

94儒歇定理452

95拉普拉斯逆变换454

附录A参考文献459

附录B区域映射图（见

第8章）462